Topic outline

  • IN10100190 - ANALISI MATEMATICA 1 (Canale A) 2018-2019

  • Visione Compiti corretti

    La visione compiti corretti (per chi volesse, dato che non è obbligatoria) sarà martedì 16 luglio in aula 1BC 50 (Dipartimento di Matematica - Torre Archimede) alle ore 14.00.

    I voti sono stati pubblicati in Uniweb.

    • Programma del corso

      Assiomi dei numeri reali. Incompletezza dei numeri razionali. Cenni di teoria degli insiemi. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni invertibili, funzioni inverse. Funzioni monotone, composte, lineari. Funzioni valore assoluto, potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche. Il principio di induzione. La diseguaglianza di Bernoulli. Il binomio di Newton. Cenni di calcolo combinatorio. Insiemi di numeri reali. Maggiorante, minorante, insiemi limitati e no. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Esistenza dell’estremo superiore. 

      Limiti di successioni. Definizioni, unicità del limite. Successioni convergenti e successioni limitate. Operazioni con i limiti. Teoremi di confronto. Successioni infinitesime. Teorema sul prodotto di una successione infinitesima e di una limitata. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il numero e. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. 

      Limiti di funzioni. Definizioni. Legami tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Esistenza del limite unilaterale delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Operazione con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Tipi di discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema dell’esistenza dei valori intermedi. Criterio di continuità delle funzioni monotone e delle loro inverse. 

      Definizione di derivata. Significato geometrico, retta tangente. Continuità delle funzioni derivabili. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche inverse e le loro derivate. 

      Applicazioni delle derivate. Massimi e minimi relativi. Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange. Criteri di monotonia. Caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo. Funzioni convesse e concave. Criterio di convessità. Il teorema di L’Hôpital. Studio del grafico di una funzione. La formula di Taylor con il resto di Peano. Criterio per i punti di massimo o di minimo. 

      Definizione di o piccolo. Confronto fra infinitesimi. Parte principale. Principio di sostituzione degli infinitesimi e sua generalizzazione. Confronto fra infiniti. Uso della formula di Taylor e del principio di sostituzione nel calcolo dei limiti. 

      Integrali definiti. Definizione, caratterizzazione delle funzioni integrabili. Confronto fra integrali. Teorema della media. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti e per sostituzione. Calcolo di aree di figure piane. Integrali impropri estesi a semirette o rette o di funzioni non limitate. Funzione integrale. 

      Serie numeriche. Definizione di serie convergente, divergente, indeterminata. Condizione necessaria per la convergenza. Criterio di Cauchy. Resto di una serie numerica e suo comportamento. Serie geometrica. Combinazione lineare di serie. Teorema sulle serie a termini non negativi. La serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Serie con termini di segno alterno. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza. Serie di Taylor e stime di convergenza.

      Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni lineari di primo e secondo ordine (a coefficienti costanti) omogenee e non omogenee. Esempi ed applicazioni.

      • Modalità d'esame

        L'esame è in forma scritta e comprende quattro esercizi e due domande di teoria (enunciati e dimostrazioni di teoremi).

        Il tempo a disposizione è di due ore e mezza.

        Le date degli appelli sono:

        28/01/2019 9:00-11:30 aule P2/P3 (Paolotti)

        11/02/2019 9:00-11:30 aule 0B/0C (Vallisneri)

        12/07/2019 9:00-11:30 aula P300 (via Luzzatti)

        12/09/2019 9:00-11:30 aula LU4 (via Luzzatti)

        • Testi consigliati

          • Elementi di Analisi Matematica 1, Carlo Sbordone, Paolo Marcellini
          • Temi d'esame senza tema, Olga Bernardi (ed. Libreria Progetto, via Marzolo).
          • Precorso di calcolo

            Le nozioni e le competenze propedeutiche al corso, che dovrebbero essere già consolidate, sono:

            Matematica Aritmetica ed algebra – Proprietà e operazioni sui numeri (interi, razionali, reali). Valore assoluto. Potenze e radici. Logaritmi ed esponenziali. Calcolo letterale. Polinomi (operazioni, decomposizione in fattori). Equazioni e disequazioni algebriche di primo e secondo grado o ad esse riducibili. Sistemi di equazioni di primo grado. Equazioni e disequazioni razionali fratte e con radicali. Geometria Segmenti ed angoli; loro misura e proprietà. Rette e piani. Luoghi geometrici notevoli. Proprietà delle principali figure geometriche piane (triangoli, circonferenze, cerchi, poligoni regolari, ecc.) e relative lunghezze ed aree. Proprietà delle principali figure geometriche solide (sfere, coni, cilindri, prismi, parallelepipedi, piramidi, ecc.) e relativi volumi ed aree della superficie.

            Geometria analitica e funzioni numeriche – Coordinate cartesiane. Il concetto di funzione. Equazioni di rette e di semplici luoghi geometrici (circonferenze, ellissi, parabole, ecc.). Grafici e proprietà delle funzioni elementari (potenze, logaritmi, esponenziali, ecc.). Calcoli con l’uso dei logaritmi. Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali.

            Trigonometria – Grafici e proprietà delle funzioni seno, coseno e tangente. Le principali formule trigonometriche (addizione, sottrazione, duplicazione, bisezione). Equazioni e disequazioni trigonometriche. Relazioni fra elementi di un triangolo.

            Se non vi sentite sicuri o a vostro agio con qualcuno di questi argomenti, vi consigliamo vivamente il precorso di calcolo dell'Università di Padova

            precorso di calcolo

            https://learn.eduopen.org/eduopen/course_details.php?courseid=109

            • Ricevimento

              Il ricevimento del Prof. Zanelli si terrà in aula LU4 ogni martedì dalle ore 16,30 alle ore 18.

              Il ricevimento del Prof. Provenzano si terrà in aula LU3 ogni mercoledì dalle ore 16:30 alle ore 18. (Se desiderate essere ricevuti non immediatamente dopo lezione, ma in un secondo momento - dopo le 16:30/17:00 -  vi pregherei di comunicarlo in anticipo (ad esempio via e-mail: luigi.provenzano@unipd.it): se tutti gli studenti che hanno domande dopo la lezione hanno terminato e non arriva nessuno per un po' di tempo è possibile che lasci l'aula in anticipo)

              • Settimana 1

                Lezione 1: Numeri naturali, interi, razionali. Assiomi dei numeri reali. Incompletezza dei numeri razionali. Densità dei razionali nei reali.

                Lezione 2: Cenni di teoria degli insiemi. Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni invertibili, funzioni inverse. Funzioni monotone, composte, lineari. Funzioni valore assoluto. 

                Lezione 3: Massimo/Minimo di un insieme. Insiemi superiormente/inferiormente limitati. Maggioranti e minoranti. Estremo superiore ed inferiore. Esistenza del sup/inf (con dimostrazione). Caratterizzazione di sup/inf. Proprietà di Archimede (con dimostrazione).

                Lezione 4: Proposizioni. Proposizioni dipendenti da un indice. Principio di induzione. Formula della somma di interi (con dimostrazione). Disuguaglianza di Bernoulli (con dimostrazione). Sequenze ordinate e fattoriale. Sottoinsiemi e binomiale. Potenza ennesima di un binomio e coefficiente binomiale (dimostrazione facoltativa). Triangolo di Tartaglia.

                SAPER FARE: dimostrazioni di formule per induzione, determinare inf/sup (eventualmente max/min) di insiemi.

                RIPETERE I SEGUENTI CONCETTI (ad esempio, sul Precorso di Calcolo): funzione potenza, radice, esponenziale, logaritmo; proprietà principali di queste funzioni e grafici; disequazioni, disequazioni con esponenziali e logaritmi; funzioni trigonometriche: definizioni, proprietà e grafici; funzione modulo (vedere anche gli altri argomenti riportati nella sezione "Precorso di calcolo").

              • Settimana 2

                Lezione 5: Limiti di successioni. Definizioni, unicità del limite. Successioni convergenti e successioni limitate. Operazioni con i limiti finiti e infiniti. Successioni infinitesime. 

                Lezione 6: Teorema sul prodotto di una successione infinitesima e di una limitata. Teoremi di confronto. Forme indeterminate. Teorema dei carabinieri. Limiti notevoli. 

                Lezione 7: Esercizi su principio di induzione: dimostrazione del binomio di Newton e somma della progressione geometrica. Esercizi su inf/sup di insiemi.

                Lezione 8: Limiti di successioni. Disuguaglianza triangolare e non esistenza del limite di (-1)n. Esercizi sulla definizione di limite. Primi esercizi sul cacololo dei limiti. Applicazione del Teorema dei Carabinieri.

                Attenzione: per quanto riguarda la lezione 7, arrivare fino a pagina 7 (inclusa). Facoltativamente, provare a vedere le pagine successive (inf/sup di successioni e limite; gerarchia degli infiniti). Le gerarchie degli infiniti saranno trattate tra gli esercizi della Settimana 3 con dimostrazioni alternative (e più semplici). 

                SAPER FARE: Saper applicare la definizione di limite di una successione (per dimostrare che un certo numero reale è il limite di una successione e per provare che il limite non esiste). Saper utilizzare le regole di calcolo dei limiti (limite della somma, del prodotto, raccoglimento, Teorema dei Carabinieri). 

              • Settimana 3

                Lezione 9: Successioni monotone, definizioni ed esempi. Teorema sulle successioni monotone ed esistenza del limite finito o infinito. Applicazione al numero di Nepero. Criterio del rapporto e successioni infinitesime.

                Lezione 10: Successioni estratte. Limiti di successioni estratte. Teorema di Bolzano-Weiestrass. Successioni di Cauchy. Criterio di convergenza di Cauchy.

                Lezione 11: Esercizi vari su successioni utilizzando tutti i criteri studiati. Gerarchia degli infiniti (dimostrazione di (logbn)β<<nα facoltativa). Calcolo di limiti utilizzando la gerarchia degli infiniti. Limiti di successioi del tipo anb .

                Lezione 12: Definizione di intorno di un punto e punto di accumulazione. Definizione di limite "ε-δ" e definizione di limite tramite successioni. Equivalenza delle due definizioni (facoltativo: guardare la dimostrazione dell'equivalenza). Limiti infiniti (entrambe le definizioni). Limiti di funzioni elementari: xα, ax, logb(x). Non esistenza dei limiti all'infinito di sin(x) e cos(x). Limite notevole di sin(x)/x per x che tende a 0 con dimostrazione (mediante successioni; guardare anche la dimostrazione con "ε-δ"). Definizione di funzione continua in un punto e su un intervallo.

                SAPER FARE: Calcolare limiti utilizzando tutti i criteri incontrati durante il corso. Saper calcolare limiti che coinvolgono potenze, esponenziali, logaritmi e fattoriali utilizzando i risultati sulla gerarchia degli infiniti. Saper calcolare limiti del tipo  anbn . Saper calcolare limiti utilizzando il fatto che (1+1/an)an tende a zero per ogni successione an che tende a +/- infinito.

              • Settimana 4

                Lezione 13: Funzioni discontinue e tipologia di discontinuità. Limiti di funzioni composte (Teorema e controesempi con diverse ipotesi). Teorema degli zeri di funzioni continue. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weiestrass su massimi e minimi di funzioni continue.   

                Lezione 14: Teorema della permanenza del segno per funzioni continue. Criterio di invertibilità per funzioni continue. Limite di funzioni monotone. Criterio di continuità per funzioni monotone. Teorema sulla continuità per funzioni inverse.  Esercizi sulla continuità di funzioni che dipendono da un parametro.

                Lezioni 15-16Esercizi su calcolo dei limiti: provare che un reale L è il limite di una funzione in un punto a utilizzando la definizione; limiti immediati che coinvolgono funzioni elementari e forme indeterminate; limiti di funzioni composte e principio di sostituzione; gerarchia degli infiniti per i limiti; limiti notevoli; calcolo di limiti più complessi utilizzando tutti gli strumenti introdotti; continuità di funzioni definite a tratti o dipendenti da parametro; comportamento asintotico di funzioni e limiti; asintoti obliqui.

                SAPER FARE: Avere capito il concetto di limite di funzione (al finito e all'infinito) e saper utilizzare la definizione per provare che una funzione tende ad un limite L; aver capito il concetto di intorno e punto di accumulazione; aver capito il concetto di funzione continua e discontinua (con esempi dei vari casi) ed i principali risultati sulle funzioni continue; saper calcolare bene i limiti di funzione utilizzando tutti gli strumenti mostrati durante il corso (limiti notevoli, gerarchie degli infiniti, sostituzione).

              • Settimana 5

                Lezione 17: Definizione di derivata, derivata destra e sinistra. Legame fra derivabilità e continuità. Operazioni con le derivate. Derivata della composta di due funzioni. Teorema sulla derivata della funzione inversa. Teorema di Fermat.

              • Settimana 6

                Lezione 18: Teorema di Rolle, esempi e controesempi. Teorema di Lagrange. Criterio di monotonia. Criterio di convessità. Esempi. 

                Lezione 19: Teorema di de l'Hopital, esercizio. Teorema di Taylor. Esercizi.

                Lezione 20: Derivate di funzioni elementari: logaritmo, esponenziale, potenza ad esponente reale, funzioni trigonometriche. Interpretazione geometrica della derivata e retta tangente. Continuità e derivabilità della funzione fn(x)=xnsen(1/x), per x≠0, fn(0)=0. Funzioni di classe C1.

                Lezione 21: Derivate delle funzioni trigonometriche inverse. Calcoli di derivate e di limiti con le derivate (definizione e regola di de l'Hôpital). Punti stazionari di funzioni. Calcolo di massimi/minimi relativi e di massimi e minimi di una funzione su un intervallo chiuso e limitato. Studio di funzione.

                SAPER FARE: Saper calcolare derivate di funzioni utilizzando tutte le regole a disposizione (fare molti esercizi sul calcolo di derivate). Saper calcolare limiti utilizzando il criterio di de l'Hôpital. Capire il legame tra segno della derivata prima di una funzione e sua monotonia, e della derivata seconda e della sua convessità. Saper caratterizzare i punti critici (o stazionari) di una funzione. Saper studiare una funzione trovando il maggior numero di informazioni possibili su di essa (dominio, limiti, asintoti, segno, zeri, simmetrie, monotonia, convessità, massimi/minimi relativi ed eventualmente assoluti, grafico).

                SUGGERIMENTO: fare molti esercizi su calcolo di derivate, punti critici, massimi e minimi e studi di funzione. In particolare, provare a fare tutti i punti degli esercizi 1,3,9 e 10 del foglio di esercizi.

              • Settimana 7

                Lezione 22: Criterio per i punti di massimo e di minimo locale. Esempi. Definizione di o-piccolo. Proprietà degli o-piccolo. Uso della serie di Taylor e degli o-piccolo per la risoluzione di limiti di forme indeterminate. Esercizio.  

                Lezione 23: Confronto fra infinitesimi. Parte principale di un infinitesimo. Teorema di sostituzione degli infinitesimi. Sviluppo di Taylor e ordine di infinitesimo. Esercizi.

                Lezione 24: Punti di flesso (non orizzontale). Studio dei punti stazionari e dei flessi di una funzione. Sviluppi di Taylor di funzioni elementari: sen(x), cos(x), tan(x), ex, ln(1+x) per x→0. Calcolo di sviluppi di Taylor di funzioni attorno a 0 e ad altri punti.

                Lezione 25: Sviluppo di Taylor di (1+x)α per α reale attorno a 0. Calcolo di limiti utilizzando sviluppi di Taylor ed o piccoli. Calcolo dell'ordine di infinitesimo. Studio di punti critici attraverso lo sviluppo di Taylor.

                SAPER FARE: Saper calcolare sviluppi di Taylor di funzioni attorno ad un dato punto x0 e fino ad un dato ordine n. Saper utilizzare il principio di sostituzione all'interno dei limiti e risolverli utilizzando gli sviluppi di Taylor e la definizione di o piccolo. Saper determinare l'ordine di infinitesimo di una funzione per x→x0. Saper riconoscere la natura di un punto stazionario di una funzione attraverso il suo sviluppo di Taylor.

              • Settimana 8

                Lezione 26: Esercizi vari su ordine di infinitesimo.

                Lezione 27: Somme integrali inferiori e superiori. Integrale definito di Riemann. Caratterizzazione delle funzioni integrabili. Prime proprietà: linearità e additività.

                Lezione 28: Calcolo di limiti dipendenti da parametro con sviluppi di Taylor, studio del prolungamento per continuità di funzioni definite a tratti mediante sviluppi di Taylor.

                Lezione 29: Primitive ed integrali indefiniti. Integrali indefniti immediati. Esercizi su integrali indefiniti e integrazione per sostituzione.

                SAPER FARE: Aver capito bene il concetto di integrale di Riemann e le sue proprietà di base. Aver capito bene il concetto di primitiva di una funzione e di integrale indefinito. Saper riconoscere subito integrali indefiniti immediati e di funzioni elementari. Imparare a riconoscere ed integrare funzioni del tipo g(f(x))f'(x) (sotituzione).

              • Settimana 9

                Lezione 30: Confronto fra integrali. Teorema della media. Uniforme continuità e Teorema di Cantor (enunciato). Teorema sull'integrabilità delle funzioni continue. Teorema fondamentale del Calcolo Integrale.

                Lezione 31: Caratterizzazione delle primitive. Formula fondamentale del calcolo integrale. Formula integrazione per parti. Esercizi. Formula integrazione per sostituzione. Esercizi. 

                Lezione 32: Integrali frequenti per parti: esponenziale e polinomio, seno/coseno e polinomio, integrale di senn(x)  iterativamente; integrali frequenti per sostituzione: integrali di √(1-x2),√(1+x2),√(x2-1) o di funzioni contenenti tali espressioni; tecniche varie di integrazione; cambio di variabile ed integrale definito.

                Lezione 33: Integrazione di funzioni razionali ed esempi; integrali definiti e considerazioni su periodicità e simmetria delle funzioni integrande.

                SAPER FARE: Saper padroneggiare le varie tecniche di integrazione apprese; fare molti esercizi sul calcolo di integrali.

              • Settimana 10

                Lezione 34: Integrali impropri si intervallo illimitato. Integrali impropri su intervallo illimitato. Legame con comportamento asintotico della funzione da integrare. Esercizi su funzione integrale e ordine di infinitesimo.

                Lezione 35: Definizione di serie numeriche. Esempio di una serie convergente. Condizione necessaria alla convergenza. Criterio di Cauchy. Serie armonica. Serie geometrica. Esercizio.

                Lezione 36: Area e integrale definito; esercizi su calcolo di aree: area dell'ellisse e area tra due grafici di funzioni continue. Esercizi su funzioni integrali.

                Lezione 37: Studio della convergenza di integrali impropri.

                SAPER FARE: Saper calcolare aree comprese tra grafici di funzioni continue con applicazioni al calcolo di figure piane; saper studiare funzioni integrali; saper discutere la convergenza di un integrale improprio su un intervallo limitato o illimitato al variare di un parametro reale, o tramite stime, o riconoscendo nei punti di discontinuità (su un intervallo limitato) o all'infinito (per intervalli illimitati) un comportamento asintotico analogo a quello di una funzione elementare di cui si conosce l'integrabilità; provare a guardare e capire tutti gli esempi svolti del file Lezione 37.

              • Settimana 11

                Lezione 38: Serie armonica generalizzata. Criterio del confronto. Criterio degli infinitesimi. Esercizi.

                Lezione 39: Criterio del rapporto. Convergenza della serie di Taylor dell'esponenziale. Esercizi. Criterio della radice. Serie alternate. Esempi. Convergenza assoluta. Teorema sulla convergenza assoluta.

                Lezione 40: Calcolo di somme di alcune serie telescopiche e geometriche; studio della convergenza di alcune serie utilizzando i criteri studiati.

                Lezione 41: Studio del carattere di convergenza di serie dipendenti da parametro utilizzando tutti i criteri studiati; criteri del rapporto e della radice generali (criteri di convergenza assoluta).

                SAPER FARE: Saper calcolare la somma di alcuni tipi di serie (serie geometrica e serie telescopica); saper discutere il carattere di una serie: se converge assolutamente/semplicemente; saper studiare il carattere di serie dipendenti da parametri; saper applicare bene tutti i criteri di convergenza appresi durante il corso.

              • Settimana 12

                Lezione 42: Teorema sulla convergenza della serie di Taylor. Equazioni differenziali del primo ordine. Esercizi.

                Lezione 43: Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee. Esercizi.

                Lezione 44: Equazioni differenziali del secondo ordine non omogenee. Esercizi. Applicazione allo studio dell'oscillatore armonico. 

                SAPER FARE: Saper risolvere equazioni differenziali lineari del primo ordine a coefficienti costanti (soluzione generale) e relativo problema di Cauchy. Saper risolvere equazioni differenziali lineari omogenee del II ordine a coefficienti costanti, e non omogenee con termine costante, (soluzione generale) e relativo problema di Cauchy.

              • Settimana 13

                Lezione 45: Esercizi in preparazione da esame.

                Lezione 46: Esercizi in preparazione da esame.

                Lezione 47: Esercizi in preparazione da esame.

                Lezione 48: Esercizi in preparazione da esame.