Topic outline

  • IN10100190 - ANALISI MATEMATICA 1 (Canale B) 2018-2019 - PROF. GABRIELLA PINZARI

  • Programma di massima

    Assiomi dei numeri reali. Incompletezza dei numeri razionali. Cenni di teoria degli insiemi. Il principio di induzione. La diseguaglianza di Bernoulli. Il binomio di Newton. Insiemi di numeri reali. Maggiorante, minorante, insiemi limitati e no. Massimo e minimo, estremo superiore ed estremo inferiore. Esistenza dell’estremo superiore. 

    Funzioni iniettive, suriettive, biettive. Funzioni invertibili, funzioni inverse. Funzioni monotone, composte, lineari. Funzioni valore assoluto, potenza, esponenziale, logaritmo. Le funzioni trigonometriche. 

    Limiti di successioni. Definizioni, unicità del limite. Successioni convergenti e successioni limitate. Operazioni con i limiti. Teoremi di confronto. Successioni infinitesime. Teorema sul prodotto di una successione infinitesima e di una limitata. Teorema sul limite delle successioni monotone. Il numero e. Criterio del rapporto per le successioni. Successioni estratte. Successioni definite per ricorrenza.

    Serie numeriche. Definizione di serie convergente, divergente, indeterminata. Condizione necessaria per la convergenza. Criterio di Cauchy. Resto di una serie numerica e suo comportamento. Serie geometrica. Combinazione lineare di serie. Teorema sulle serie a termini non negativi. La serie armonica generalizzata. Criteri di convergenza per le serie a termini non negativi. Serie con termini di segno alterno. Convergenza assoluta. La convergenza assoluta implica la convergenza. Criteri di convergenza assoluta. 

    Limiti di funzioni. Definizioni. Legami tra limiti di funzioni e limiti di successioni. Esistenza del limite unilaterale delle funzioni monotone. Limiti delle funzioni elementari. Operazione con i limiti di funzioni. Limiti di funzioni composte. Funzioni continue. Continuità delle funzioni elementari. Tipi di discontinuità. Teorema della permanenza del segno. Teorema di esistenza degli zeri. Teorema di Weierstrass. Teorema dei valori intermedi. Criterio di continuità delle funzioni monotone e delle loro inverse. 

    Definizione di derivata. Significato geometrico, retta tangente. Continuità delle funzioni derivabili. Operazioni con le derivate. Derivate delle funzioni composte e delle funzioni inverse. Derivate delle funzioni elementari. Le funzioni trigonometriche inverse e le loro derivate. 

    Applicazioni delle derivate. Massimi e minimi relativi. Teoremi di  Rolle, Cauchy, Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange: caratterizzazione delle funzioni costanti in un intervallo, delle funzioni monotòne.  I teoremi di de l’Hôpital. 

    Integrali definiti. Definizione, caratterizzazione delle funzioni integrabili. Confronto fra integrali. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Primitive di una funzione e formula fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrazione delle funzioni razionali. Integrazione per parti e per sostituzione. Calcolo di aree di figure piane. Integrali impropri estesi a semirette o rette o di funzioni non limitate. Criterio del confronto per integrali impropri.

    Derivate seconde. Funzioni convesse e concave. Criterio di convessità.  Criterio per i punti di massimo o di minimo. 

    La formula di Taylor. Uso della formula di Taylor e del principio di sostituzione nel calcolo dei limiti. 

    Introduzione alle equazioni differenziali. Equazioni del primo ordine. Equazioni lineari di ordine 2 o superiore (a coefficienti costanti). Metodo della variazione delle costanti. Esempi ed applicazioni.

    • Modalità d'esame

      L'esame consiste di una prova scritta e una prova oraleLa prova scritta consta di cinque o sei esercizi con punteggio totale di 30/30 e sarà valutata sulla base della correttezza degli esercizi svolti. Si accederà alla prova orale solo se si supererà la prova scritta con almeno 14/30.

      Si può essere esonerati dalla prova scritta nel caso si superino due prove parziali (una a metà corso, una alla fine del corso) con media maggiore o uguale di 14/30 e votazione minima di 10/30 su ogni prova.

      Se le  prove parziali non vengono superate, o se, pur essendo state superate, si desidera avere un voto più alto, si può sostenere la prova scritta.

      La partecipazione ad un appello scritto viene interpretata come chiara rinuncia alla prova parziale, e pertanto, ai fini dell'accesso alla prova orale, farà fede il voto dell'ultima prova sostenuta (anche se questa dovesse essere insufficiente, a fronte di un parziale sufficiente).

      Le prove parziali restano valide per uno qualsiasi degli appelli di Gennaio-Febbraio. Lo Studente che,  pur avendo superato le prove parziali, non si dovesse presentare alla prova orale di uno degli appelli di Gennaio-Febbraio, e quindi decidesse di sostenere l'esame in una sessione successiva, dovrà superare una nuova prova scritta.

      La prova scritta ha validità per il solo appello per il quale è sostenuta. Lo Studente che,  pur avendo superato una prova scritta, non si dovesse presentare alla prova orale dello stesso appello ne quale la prova scritta è stata sostenuta, e quindi decidesse di sostenere l'esame in una sessione successiva, dovrà superare una nuova prova scritta.

      La prova orale, valutabile fino a 30/30, consta di tre domande nelle quali verranno chiesti i teoremi svolti a lezione e le relative dimostrazioni. Ad ogni risposta corretta sono attribuiti fino a 10 punti. Il voto finale sarà determinato dalle valutazioni complessive della prova scritta e della prova orale, e non sarà inferiore alla media aritmetica dei due. La "Lode" verrà attribuita in caso di una valutazione complessiva particolarmente convincente.

      • Testi di Riferimento

        - E. Giusti. Analisi matematica I. Bollati Boringhieri.

        - E. Giusti. Analisi matematica II, seconda edizione, cap. 17. Bollati Boringhieri.

        - E. Giusti. Esercizi e Complementi di Analisi Matematica I. Bollati Boringhieri.