CALCOLO NUMERICO (Canale B) 2020-2021 - IN18101050

Modalita' in aula (duale)

Le lezioni avranno luogo: 

• Teoria: 
  » giovedi' della 8.30 alle 10.30, P1, Complesso Paolotti, 
  » venerdi' della 8.30 alle 10.30, P1, Complesso Paolotti.


• laboratorio: 
  » venerdi' della 14.30 alle 16.30, via Zoom (9315670682).

Modalita' telematica (non standard)

Qualora il corso sia svolto in maniera telematica, il docente fornira' le lezioni per mezzo di video che sono reperibili in questa pagina web (vedasi sezione: Calendario lezioni, materiale didattico, meeting Zoom). 

Per il corso si suggeriscono i testi 

• K.E. Atkinson: Elementary Numerical Analysis (in inglese).
• G. Rodriguez: Algoritmi Numerici.

• A. Martinez, Calcolo Numerico con Matlab. Temi d'esame di laboratorio. Testi e soluzioni. Edizioni Libreria Progetto, 2017. 
• S. De Marchi-M. Poggiali, Exercises of Numerical Calculus with solutions in Matlab/Octave, Edizioni La Dotta, 2018. (in inglese) 

Per alcune tracce di calcolo numerico, si considerino 

• https://www.math.unipd.it/~marcov/studenti.html
• Holistic Numerical Methods (in inglese)

Altre sorgenti didattiche: 

• MATLAB Onramp (in inglese, tutorial interattivo della durata di circa tre ore)
• Getting Started with MATLAB, Mathworks (in inglese) 
• Numerical Computing with MATLAB, by Cleve Moler (in inglese) 
• Matlab Tutorial, di Kelly Black (in inglese) 
• Introduction to Matlab Programming (video), MIT. (in inglese) 
• Manuale Matlab, di Giuseppe Ciaburro (in italiano) 
• Octave Quick Reference (in inglese)
• Teaching Numerical Analysis using Elementary Numerical Analysis, di K. Atkinson e W. Han (in inglese)
• Manuale di Matlab. (slides di Angeles Marti­nez Calomardo)

La pagina Moodle del corso e' 

https://elearning.unipd.it/dii/course/view.php?id=2295
La pagina e' abilitata all'iscrizione spontanea, sia per gli studenti di Ingegneria dell'Energia (canale B), che di Ingegneria Meccanica. 

Gli orari di ricevimento sono stabiliti settimanalmente (via Zoom). Per il loro orario si veda il calendario settimanale delle lezioni. 

Nei files che seguono viene introdotto il corso (formato presentazione tipo beamer e PDF). 

• [Beamer], 
  
• [PDF]

Programma di teoria 

• Numeri macchina: 
  
  » Rappresentazione dei numeri reali. 
  » Un esempio. 
  » Numeri macchina. 
  » Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo). 
  » Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura). 
  » Precisione singola e doppia; 
  » Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni); 
  » Precisione di macchina; 
  » Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi; 
  » Unita' di arrotondamento. 
  » Operazioni con i numeri macchina; 
  » Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi); 
  » Errori nelle operazioni e loro propagazione; 
  » Il caso della somma, con dimostrazione; 
  » Esempio sulla cancellazione; 
  » Il caso del prodotto, con dimostrazione; 
  » Alcune problematiche numeriche; 
  » Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione); 
  » Alcuni esempi del condizionamento. 
  » Stabilita' di un algoritmo. 
  » Calcolo di una radice di secondo grado. 
  » Approssimazione di pi greco. 
  » Una successione ricorrente. 
  » Sulla somma ((1+x)-1)/x. 
  » Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)). 
  » Valutazione di polinomi: complessita' computazionale. 
  » Potenza di matrice. 
  » Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU.


• Soluzione di equazioni non lineari: 
  
  » Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi. 
  » Ordine di convergenza, con esempio. 
  » Metodo di bisezione. 
  » Convergenza del metodo di bisezione. 
  » Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi). 
  » Metodo di Newton. 
  » Interpretazione grafica del metodo di Newton. 
  » Test di arresto per il metodo di Newton. 
  » Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione). 
  » Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione). 
  » Newton e zeri multipli. 
  » Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli). 
  » Newton: radici quadrate ed n-sime. 
  » Metodo delle secanti. 
  » Metodo delle secanti: un teorema di convergenza. 
  » Metodo delle secanti: un esempio. 
  » Metodi di punto fisso: introduzione. 
  » Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione dei primi tre punti). 
  » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione). 
  » Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione). 
  » Metodo di Newton come metodo di punto fisso. 
  » Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).


• Interpolazione polinomiale: 
  
  » Interpolazione: introduzione. 
  » Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione) 
  » Errore di interpolazione (con dimostrazione) 
  » Esempio di stima dell'errore di interpolazione. 
  » Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev; 
  » Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore; 
  » Teorema di Faber e di Bernstein; 
  » Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev; 
  » Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue; 
  » Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.


• Funzioni polinomiali a tratti e splines: 
  
  » Un problema dell'interpolazione polinomiale. 
  » Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s". 
  » Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s". 
  » Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1. 
  » Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1". 
  » Splines. 
  » Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti. 
  » Splines cubiche interpolanti. 
  » Analisi dell'unicita' delle splines cubiche. 
  » Splines naturali, vincolate e periodiche. 
  » Splines not-a-knot. 
  » Convergenza delle splines cubiche. 
  » Osservazione sulla convergenza uniforme. 
  » Esperimento di Runge.


• Minimi quadrati: 
  
  » Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni. 
  » Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati. 
  » Alcuni esempi. 
  » Curve fitting. 
  » Regressione lineare (con esempio). 
  » Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati.


• Derivazione numerica: 
  
  » Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme. 
  » Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione). 
  » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione). 
  » Esempi. 
  » Analisi del metodo alle differenze simmetriche (con dimostrazione). 
  » Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione). 
  » Esempi.


• Integrazione numerica: 
  
  » Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione). 
  » Formule interpolatorie. 
  » Grado di precisione. 
  » Grado di precisione delle formule interpolatorie. 
  » Regole del rettangolo: definizione ed errore. 
  » Regola midpoint: definizione ed errore. 
  » Formule di Newton-Cotes chiuse. 
  » Regola del trapezio ed errore. 
  » Regola di Cavalieri-Simpson ed errore. 
  » Formule composte e splines. 
  » Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio. 
  » Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio. 
  » Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio. 
  » Formule composte: esempi e rapporti di convergenza. 
  » Stabilita' formule di quadratura (con dimostrazione). 
  » Convergenza di alcune formule di quadratura (legame con la convergenza uniforme). 
  » Il caso delle formule di Newton-Cotes, di quelle basate sull'integrazione di interpolanti in nodi di Chebyshev e delle formule composte. 
  » Esempi.


• Algebra Lineare Numerica: 
  
  » Norma di vettori (definizione) 
  » Norme "p" e infinito. 
  » Esempi. 
  » Norme indotte di matrici (definizione). 
  » Raggio spettrale. 
  » Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf). 
  » Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati. 
  » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso particolare). 
  » Un esempio. 
  » Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (caso generale, solo asserto). 
  » Sistemi lineari. Un esempio. 
  » Matrici triangolari. 
  » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare. 
  » Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale. 
  » Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale). 
  » Fattorizzazione LU. 
  » Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU. 
  » Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari. 
  » Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting. 
  » Fattorizzazione PA=LU. 
  » Fattorizzazione PA=LU (note su P). 
  » Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive. 
  » Pseudocodice A=LU. 
  » Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione). 
  » Tempi di calcolo. 
  » Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'. 
  » Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU. 
  » Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU. 
  » Inversa: cofattori vs LU. 
  » Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione. 
  » Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c. 
  » Metodi iterativi stazionari: legame tra metodo e soluzione di un problema di punto fisso. 
  » Metodi iterativi stazionari: un teorema di convergenza globale legato alla norma di B (con dimostrazione). 
  » Metodi iterativi stazionari: un teorema di convergenza globale legato al raggio spettrale di B (senza dimostrazione). 
  » Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3). 
  » Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3). 
  » Metodi di Jacobi e Gauss-Seidel (caso generale). 
  » Splitting A=D-E-F. 
  » Splitting A=P-N. 
  » Splitting A=P-N: caso Jacobi. 
  » Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel. 
  » Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (con dimostrazione). 
  » Metodi iterativi e loro convergenza: esempi. 
  » Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione. 
  » Legame tra soluzione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione). 
  » Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky. 
  » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky. 
  » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio. 
  » Matrici rettangolari e fattorizzazione QR. 
  » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR. 
  » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio. 
  » Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD. 
  » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD. 
  » Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.

Syllabus degli argomenti in cui le dimostrazioni sono irrinunciabili (e` necessario saper sviluppare una discussione su tutti gli argomenti del programma; qui si elencano i risultati di cui bisogna conoscere una dimostrazione completa e rigorosa, che ci si aspetta venga svolta in una prova scritta pertinente) 

• Precisione di macchina come massimo errore relativo di troncamento nel sistema floating-point;
• analisi di stabilita' di moltiplicazione, addizione e sottrazione con numeri approssimati;
• convergenza del metodo di bisezione
• teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione);
• teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione). 
• ordine di convergenza delle iterazioni di punto fisso (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza));
• esistenza e unicita' dell'interpolazione polinomiale;
• convergenza uniforme dell'interpolazione lineare a tratti;
• stime di condizionamento per un sistema lineare (effetto di errori sul vettore termine noto o sulla matrice).