Registro delle lezioni (update: 28/05/21)
Simboli: ✔ significa lezioni svolte, mentre ✗ significa lezioni da svolgere.
Lezione 1 di teoria ✔
» Introduzione al corso (1h).
» Rappresentazione dei numeri reali.
» Un esempio.
» Numeri macchina.
» Alcune proprieta' numeri macchina (minimo, massimo).
Lezione 2 di teoria, ✔
» Alcune proprieta' numeri macchina (cardinalita', spaziatura).
» Precisione singola e doppia.
» Troncamento e arrotondamento (con esempi e osservazioni).
» Precisione di macchina.
» Errori relativi e assoluti (per numeri e vettori), con esempi.
» Unita' di arrotondamento.
Lezione 3 di teoria, ✔
» Operazioni con i numeri macchina.
» Proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni floating point (con esempi).
» Errori nelle operazioni e loro propagazione.
» Il caso della somma, con dimostrazione.
» Esempio sulla cancellazione.
» Il caso del prodotto, con dimostrazione.
» Alcune problematiche numeriche.
» Valutazione di una funzione (condizionamento di una funzione).
» Alcuni esempi del condizionamento.
Lezione 4 di teoria, ✔
» Stabilita' di un algoritmo.
» Calcolo di una radice di secondo grado.
» Approssimazione di pi greco.
» Una successione ricorrente.
» Sulla somma ((1+x)-1)/x.
» Sulla valutazione di f(x)=x come tan(arctan(x)).
» Valutazione di polinomi: complessita' computazionale.
Lezione 1 di Laboratorio, ✔
» Matlab e Octave.
» Interfaccia grafica di Matlab.
» Command Window.
» Variabili.
» Valori che possono assumere le variabili (scalari, vettori, matrici, stringhe).
» Operazioni e funzioni elementari predefinite (con esempi).
» Alcune costanti.
» Help di Matlab.
» Assegnazioni.
» Il comando "whos".
» Vettori riga e colonna in Matlab.
» Comandi "length" e "size", "zeros", "ones".
» Vettori equispaziati come "a:h:b" o con "linspace".
Lezione 5 di teoria, ✔
» Potenza di un numero.
» Esponenziale di un numero.
» Determinanti: confronto della regola di Laplace e metodo con fattorizzazione LU.
» Soluzione numerica di equazioni nonlineari esempi, grafici e metodi iterativi.
Lezione 6 di teoria, ✔
» Ordine di convergenza, con esempio.
» Metodo di bisezione.
» Convergenza del metodo di bisezione (con dimostrazione).
» Test di arresto per il metodo di bisezione (con esempi).
Lezione 2 di Laboratorio, ✔
» Accesso alle componenti di un vettore.
» Operazioni elementari di tipo vettoriale.
» Funzioni elementari e loro applicazione a vettori.
» Note sulle operazioni moltiplicative.
» Somma tra scalari e vettori.
» Operazioni moltiplicative tra scalari e vettori.
» Definizione di funzioni matematiche.
» La grafica di Matlab e il comando plot.
Lezione 7, ✔
» Metodo di Newton.
» Interpretazione grafica del metodo di Newton.
» Test di arresto per il metodo di Newton.
» Un teorema di convergenza locale per il metodo di Newton (traccia della dimostrazione).
Lezione 8, ✔
» Un teorema di convergenza globale per il metodo di Newton (con dimostrazione).
» Newton e zeri multipli.
» Newton: alcuni esempi (casi semplici e multipli).
» Newton: radici quadrate ed n-sime.
Lezione 3 di Laboratorio, ✔
» La scala semilogaritmica
» Altri comandi per grafici
» I comandi legend e title
» Le stringhe di testo
» I comandi format, disp, fprintf
» Le matrici: definizione.
» Alcune funzioni matriciali di Matlab.
» Operazioni elementari con Matrici.
» Prodotto matrice vettore
» Soluzione di sistemi lineari.
Lezione 9, ✔
» Metodo delle secanti.
» Metodo delle secanti: un teorema di convergenza.
» Metodo delle secanti: un esempio.
» Metodi di punto fisso: introduzione.
» Teorema di punto fisso di Banach (dimostrazione punto 3 (ordine convergenza)).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (senza dimostrazione).
» Un teorema di punto fisso di convergenza locale (ordine p, senza dimostrazione).
Lezione 10, ✔
» Metodo di Newton come metodo di punto fisso.
» Metodo di Newton e teorema di punto fisso di convergenza locale (traccia della dimostrazione).
» Calcolo di radice di 5 mediante 4 successioni di punto fisso.
» Interpolazione: introduzione.
» Esistenza e unicita' del polinomio interpolatore (con dimostrazione)
» Errore di interpolazione (senza dimostrazione)
Lezione 11, ✔
» Esempio di stima dell'errore di interpolazione.
» Convergenza dell'interpolazione polinomiale: nodi equispaziati e di tipo Chebyshev;
» Convergenza uniforme: una stima uniforme dell'errore tra funzione e polinomio interpolatore;
» Teorema di Faber e di Bernstein;
» Controesempio di Runge: comportamento dell'interpolante in nodi equispaziati e di Chebyshev;
» Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: introduzione del problema.
Lezione 4 di Laboratorio, ✔
» Le matrici: gestione di matrici particolari con [A; B] e [A B].
» Definizione di una funzione
» Definizione di una funzione: le directories
» Definizione di una funzione: variabili locali
» Definizione di una funzione: piu variabili in input e output
» Operatori di relazione e condizionali (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: if then else (con esempi)
» Le istruzioni condizionali: switch (con esempi)
» Ciclo For (con esempi)
» Ciclo While (con esempi)
Lezione 12, ✔
» Stabilita' dell'interpolazione polinomiale: stime, costante di Lebesgue;
» Costante di Lebesgue per nodi equispaziati e di Chebyshev.
» Un problema dell'interpolazione polinomiale.
» Funzioni polinomiali a tratti. Funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s".
» Esistenza e unicita' delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "s" su dati che sono multiplo di "s".
» Errore dell'interpolante polinomiale a tratti di grado 1 (con dimostrazione).
Lezione 13, ✔
» Convergenza uniforme delle funzioni polinomiali a tratti, interpolanti e di grado "1".
» Splines.
» Differenza tra splines e interpolanti polinomiali a tratti.
» Splines cubiche interpolanti.
» Analisi dell'unicita' delle splines cubiche.
» Splines naturali, vincolate e periodiche.
» Splines not-a-knot.
Lezione 5 di Laboratorio, ✔ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Relazioni tra ciclo for e ciclo while (con esempi)
» Gestione dei files dei dati. Salvare dati su file.
» Altri comandi.
» Radici di Secondo grado in Matlab: metodo stabile e instabile.
» Calcolo di pi greco mediante successioni.
» Una successione ricorrente.
Lezione 14, ✔
» Convergenza delle splines cubiche.
» Osservazione sulla convergenza uniforme.
» Esperimento di Runge con splines.
» Problema ai minimi quadrati: definizione e motivazioni.
» Teorema che lega il numero di campionamenti all'errore dei minimi quadrati.
Lezione 6 di Laboratorio, ✔ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Metodo di bisezione in Matlab (con demo).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli while).
» Metodo di Newton in Matlab (con cicli for, esercizio).
Lezione 15, ✔
» Curve fitting.
» Regressione lineare (con esempio).
» Minimi quadrati e ricostruzione di funzione da dati perturbati..
» Derivazione e un risultato negativo di convergenza uniforme.
» Analisi del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Instabilita' del rapporto incrementale (asserto).
Lezione 16, ✔
» Instabilita' del rapporto incrementale (con dimostrazione).
» Esempi.
» Analisi del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
» Instabilita' del metodo del rapporto incrementale simmetrico (con dimostrazione).
» Esempi.
» Integrazione numerica: stabilita' e convergenza uniforme (con dimostrazione).
Lezione 7 di Laboratorio, ✔ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Interpolazione in Matlab: polyfit e polyval.
» La funzione di Runge in Matlab (esempio, con demo).
» Esercizi.
Lezione 17, ✔
» Formule interpolatorie.
» Grado di precisione.
» Grado di precisione delle formule interpolatorie.
» Regole del rettangolo: definizione ed errore.
» Regola midpoint: definizione ed errore.
» Formule di Newton-Cotes chiuse.
» Regola del trapezio ed errore.
» Regola di Cavalieri-Simpson ed errore.
Lezione 18, ✔
» Formule composte e interpolanti a tratti.
» Formula composta midpoint, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta trapezi, errore, grado di precisione, esempio.
» Formula composta Cavalieri-Simpson, errore, grado di precisione, esempio.
» Formule composte: esempi e rapporti di convergenza.
Lezione 8 di Laboratorio, ✔ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Splines in Matlab: interp1 e spline.
» alcuni esempi.
» Esercizi.
Lezione 19, ✔
» Norma di vettori (definizione)
» Norme "p" e infinito.
» Esempi.
» Norme indotte di matrici (definizione).
» Raggio spettrale.
» Norme indotte di matrici (esempi p=1, p=2, p=inf).
» Risoluzione di sistemi lineari con termini noti perturbati.
» Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione termine noto, con dimostrazione).
» Un esempio.
» Sistemi perturbato Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione matrice, con dimostrazione ptI).
Lezione 20, ✔
» Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso perturbazione matrice, con dimostrazione, ptII).
» Sistemi perturbati Ax=b e numero di condizionamento (dimostrazione caso generale, solo asserto).
» Sistemi lineari. Un esempio.
» Matrici triangolari.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare.
» Risoluzione numerica di sistemi Ax=b con A matrice triangolare: complessita' computazionale.
» Risoluzione di sistemi lineari (esempio matriciale).
» Fattorizzazione LU.
» Risoluzione di sistemi lineari e loro legame con la fattorizzazione LU.
Lezione 9 di Laboratorio, ✔ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Approssimazione ai minimi quadrati in Matlab;
» Polyfit e minimi quadrati;
» Regressione lineare con esempio in Matlab;
» Minimi quadrati e dati perturbati con esempio in Matlab;
» Esercizi.
Lezione 21, ✔
» Problematiche della fattorizzazione LU e della risoluzione dei sistemi lineari.
» Risoluzioni di sistemi lineari con pivoting.
» Fattorizzazione PA=LU.
» Matrici cui a priori non serve pivoting: a predominanza diagonale, simmetriche definite positive.
» Pseudocodice A=LU.
» Complessita' computazionale A=LU (senza dimostrazione).
» Tempi di calcolo.
» Fattorizzazione Cholesky e sua complessita'.
» Risoluzione del sistema Ax=b, nota PA=LU.
» Determinante di una matrice: complessita' Laplace vs LU.
» Inversa: cofattori vs LU.
Lezione 22, ✔
» Metodi iterativi e metodi diretti: breve introduzione.
» Splitting A=D-E-F.
» Splitting A=P-N.
» Metodi iterativi stazionari: x^(k+1)=Bx^(k)+c.
» Splitting A=P-N: caso Jacobi.
» Metodo di Jacobi (esempio matrice 3 x 3).
» Splitting A=P-N: caso Gauss-Seidel.
» Metodo di Gauss-Seidel (esempio matrice 3 x 3).
» Metodi iterativi: alcuni teoremi di convergenza globale.
Lezione 10 di Laboratorio, ✔ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Una demo di esempio sulla regola dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Formula dei trapezi composta;
» Formula dei trapezi composta: implementazione in Matlab;
» Formula dei Cavalieri-Simpson composta;
» Formula dei Cavalieri-Simpson composta: implementazione in Matlab;
» Una demo di esempio sulla formula composta dei trapezi e di Cavalieri-Simpson;
» Esercizio assegnato.
Lezione 23, ✔
» Convergenza di Jacobi per matrici a pred. diag. stretta (senza dimostrazione).
» Metodi iterativi e loro convergenza: esempi.
» Test di arresto.
» Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: definizione.
» Sistemi sovradeterminati e soluzione ai minimi quadrati: teorema.
» Legame tra soluzione dell'approssimazione ai minimi quadrati ed equazioni normali (senza dimostrazione).
» Matrici rettangolari e fattorizzazione Cholesky.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky.
Lezione 24, ✔
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione Cholesky: un esempio.
» Matrici rettangolari e fattorizzazione QR.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione QR: un esempio.
» Matrici rettangolari e fattorizzazione SVD.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD.
» Risoluzione equazioni normali con fattorizzazione SVD: un esempio.
Lezione 11 di Laboratorio, ✔ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Fattorizzazione LU ed eliminazione gaussiana in Matlab.
» Il comando {\tt{mldivide}} (backslash);
» Soluzione di sistemi lineari con
» Fattorizzazione LU;
» Fattorizzazione LU (esempi);
» Soluzione di sistemi lineari nota la fattorizzazione LU;
» Esercizi.
Lezione 12 di Laboratorio, ✗ (lezione del Dott. F. Piazzon)
» Esercizi di preparazione al compito (parte di Laboratorio).