TeoremaDiPitagora

Teorema di Pitagora

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In un triangolo rettangolo la somma delle aree dei due quadrati costruiti sui cateti (blu e rosso) è uguale all'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (viola).

Animazione a prova del Teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora è un teorema della geometria euclidea che stabilisce una relazione fondamentale tra i lati di un triangolo rettangolo ed è una versione limitata ad essi del teorema di Carnot.

Indice

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4 Inverso

4.1 Applicazioni pratiche dell'enunciato inverso

5 Generalizzazioni

Origine

Visualizzazione del caso del triangolo (3,4,5) contenuta nel testo cinese Chou Pei Suan Ching(scritto tra il 200 a.C. e il 200 d.C.)

Quello che modernamente conosciamo come teorema di Pitagora viene solitamente attribuito al filosofo e matematico Pitagora. In realtà il suo enunciato (ma non la sua dimostrazione) era già noto^[1] ai babilonesi, ed era conosciuto anche in Cina e sicuramente in India come dimostrano molte scritture fra cui lo Yuktibhasa. La dimostrazione del teorema è invece con ogni probabilità successiva a Pitagora.

Enunciato

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

oppure: In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa è sempre uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

È interessante notare come in altre lingue (segnatamente in Inglese, Francese e Spagnolo) la definizione del teorema di Pitagora non ingeneri alcun dubbio circa il corretto utilizzo degli aggettivi "equivalente" al posto di "uguale" e viceversa. Infatti in tali idiomi nella definizione del teorema non si fa riferimento ai "quadrati costruiti sui cateti" o al "quadrato costruito sull'ipotenusa" ma più riduttivamente ci si riferisce ai "quadrati (delle lunghezze) dei cateti" o al "quadrato (della lunghezza) dell'ipotenusa".

Questa circostanza consente il solo e semplice utilizzo dei termini "equal" (in Inglese), "égal" (in Francese), "igual" (in Spagnolo) nelle rispettive definizioni del teorema.

In italiano, viceversa, se si vuole usare l'aggettivo "uguale" invece di "equivalente" bisogna necessariamente riferirsi o "alle aree dei quadrati/area del quadrato" costruiti rispettivamente sui cateti e sull'ipotenusa (area intesa come misura della estensione di una superficie), oppure ci si deve riferire ai "quadrati delle lunghezze dei cateti" e al "quadrato della lunghezzadell'ipotenusa".

La possibile ambivalenza della lingua italiana deriva dal fatto che, in assenza del termine "costruito", la parola "quadrato" può definire sia la superficie della figura geometrica in quanto tale, sia la generica operazione di elevamento alla seconda potenza. Nella lingua inglese la medesima ambivalenza è mitigata dal fatto che per definire il quadrato inteso come superficie è possibile utilizzare il termine "foursquare" invece del termine "square".

Dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c, ed indicando con c la sua ipotenusa e con a e b i suoi cateti, il teorema è espresso dall'equazione:

$a^2 + b^2 = c^2\,$

o, in alternativa, risolvendolo per c:

$\sqrt{a^2 + b^2} = c.$

Da cui si ricavano i rispettivi cateti:

$\sqrt{c^2 - b^2} = a.$

$\sqrt{c^2 - a^2} = b.$

Se la terna è costituita da numeri interi essa si chiama terna pitagorica.

Inversamente, ogni triangolo in cui i tre lati verificano questa proprietà è rettangolo: questo teorema, con la sua dimostrazione, appare nell'ultimo enunciato degli Elementi.

Dimostrazioni

Animazione di una dimostrazione

La dimostrazione classica del teorema di Pitagora completa il primo libro degli Elementi di Euclide, e ne costituisce il filo conduttore. Dato che richiede il postulato delle parallele, esso non vale nelle geometrie non-euclidee e nella geometria neutrale. Nel testo di Euclide la dimostrazione del teorema è immediatamente preceduta dalla dimostrazione della costruibilità dei quadrati. L'esistenza stessa dei quadrati dipende infatti dal postulato delle parallele e viene meno nelle geometrie non euclidee. Questo aspetto del problema è in genere trascurato nella didattica contemporanea, che tende spesso ad assumere come ovvia l'esistenza dei quadrati.

La dimostrazione del teorema di Pitagora consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.

Essendo il teorema uno dei più noti della storia della matematica, ne esistono moltissime dimostrazioni, in totale alcune centinaia, opera di matematici, astronomi, agenti di cambio, per esempio un presidente statunitense James A. Garfield e Leonardo da Vinci. Per questo teorema sono state classificate dallo scienziato statunitense Elisha Scott Loomis 371 differenti dimostrazioni, che sono state pubblicate nel 1927 nel suo libro The Pythagorean Proposition.

Dimostrazione di Abu'l-Wafa

Dimostrazione di Abu'l-Wafa' i Perigal

La dimostrazione attribuita al matematico e astronomo persiano Abu'l-Wafa verso la fine del X secolo d.C.^[2][3] e riscoperta dall'agente di cambio Henry Perigal (trovata nel 1835-1840^[4], pubblicata nel 1872 e successivamente nel 1891^[5]) si basa sulla scomposizione del quadrato costruito sul cateto maggiore, in giallo nell'immagine: tagliandolo infatti con due rette passanti per il suo centro, una perpendicolare ed una parallela all'ipotenusa, si può ricomporre in maniera da incorporare l'altro quadrato, e formando il quadrato sull'ipotenusa, come nella figura. Questo procedimento è legato al problema della trisezione del quadrato.

Dimostrazione di Airy

Dimostrazione di Airy

Esiste anche una dimostrazione poetica, dell'astronomo Sir George Airy, in inglese:

"I am, as you can see,
a² + b² − ab
When two triangles on me stand,
Square of hypothenuse is plann'd
But if I stand on them instead
The squares of both sides are read."

di cui una traduzione letterale è

"Come potete vedere, sono
a² + b² − ab
Quando ci sono due triangoli sopra di me
È rappresentato il quadrato dell'ipotenusa
Ma se invece sto io sopra di loro
Si leggono i quadrati dei due lati"

I versi si riferiscono alla parte bianca: i primi due triangoli sono quelli rossi, i secondi quelli blu.

Sia quella di Perigal che quest'ultima sono interessanti, in quanto sono puramente geometriche, ossia non richiedono alcuna definizione di operazioni aritmetiche, ma solo congruenze di aree e di segmenti.

Quadrati concentrici di Pomi

Dimostrazione con quadrati concentrici

Dimostrazione geometrica basata su due quadrati concentrici, di lati rispettivamente pari all'ipotenusa (c) e alla somma dei due cateti (a+b).

Come si vede dalla figura, tolti i 4 triangoli rettangoli (in giallo di area ) al quadrato più grande, che corrisponde all'area , si ottiene il quadrato più piccolo, rappresentato in bianco, che equivale invece all'area .

Quindi
da cui risolvendo si ottiene :

Questa dimostrazione ha il vantaggio di avere una rappresentazione visiva semplice e diretta, che non richiede lo spostamento e sovrapposizione di forme come le altre dimostrazioni geometriche formulate.

Dimostrazione di Garfield

Dimostrazione di Garfield

Un'altra dimostrazione geometrica particolarmente significativa, in quanto nella costruzione non compare alcun quadrato, fu trovata nel 1876 da Garfield, che in seguito divenne il ventesimoPresidente degli Stati Uniti d'America. Allora nell'esercito, Garfield commentò il suo risultato: "Questo è qualcosa su cui i due rami del parlamento potranno essere d'accordo".

La dimostrazione è la seguente:

consideriamo una copia del triangolo rettangolo in questione, ruotata di 90 gradi in modo da allineare i due cateti differenti (nella figura a lato il rosso ed il blu). Si uniscono poi gli estremi delle ipotenuse, e si ottiene un trapezio. Uguagliando l'area del trapezio alla somma di quelle dei tre triangoli rettangoli, si dimostra il teorema.

In formule, detto a il cateto rosso, b il blu e c l'ipotenusa, e ricordando la potenza del binomio

$\frac {(a+b)^2} 2 = \frac {{ab}} 2 + \frac {{ab}} 2 + \frac {c^2} 2 \,\, \Rarr \,\, a^2 + b^2 = c^2$

Con i teoremi di Euclide

Dimostrazione con Euclide

Un'altra dimostrazione utilizza il primo teorema di Euclide. Si traccia l'altezza sull'ipotenusa, di lunghezza . Questa spezza l'ipotenusa in due segmenti, di lunghezza e . Il teorema di Euclide fornisce le relazioni

$\frac ap = \frac ca, \ \frac bq = \frac cb,$

da cui

$a^2 = cp, \ b^2 = cq$

e quindi

$a^2 + b^2 = c(p+q) = c^2.\,\!$

Con i teoremi dell'incerchio

Un'altra dimostrazione può essere ottenuta attraverso alcuni teoremi legati alla circonferenza inscritta ad un triangolo e tramite qualche semplice passaggio algebrico.

Lemma 1: Tenendo conto del teorema delle tangenti si può dedurre dalla figura precedente che la distanza tra un vertice ed il punto di tangenza di uno dei due lati di cui è estremo con l'incerchio è uguale alla differenza tra il semiperimetro ed il lato opposto a quel vertice. Infatti ogni lato è composto da due di questi tre segmenti, inoltre questi segmenti sono uguali a due a due (quelli adiacenti, sempre per il teorema delle tangenti) e la somma di tutti e sei è uguale al perimetro; perciò la somma di tutti e tre i segmenti di lunghezza distinta è uguale al semiperimetro ed ognuno di questi è quindi il semiperimetro meno la somma degli altri due, quindi il lato opposto al vertice a cui appartiene.

Lemma 2: Nel caso particolare di un triangolo rettangolo il raggio della circonferenza inscritta è uguale al segmento che va dal vertice dell'angolo retto al punto di tangenza con l'incerchio. Ciò perché, considerando il quadrilatero avente come vertici il vertice dell'angolo retto, i punti di tangenza sui cateti e l'incentro, si vedrebbe che ha tre angoli retti(quindi anche il quarto) e cioè che è un rettangolo; ma anche che ha due lati consecutivi congruenti(ancora una volta per il teorema delle tangenti), perciò è un rettangolo con le dimensioni congruenti, ovvero un quadrato e quindi per definizione ogni suo lato è congruente a tutti gli altri. Questo implica il lemma che volevamo dimostrare.

Lemma 3: Sia il semiperimetro, il raggio della circonferenza inscritta e l'area del triangolo in questione(non necessariamente rettangolo, ma tale nella parte seguente della nostra dimostrazione); si ha la formula: . Questo si può verificare considerando i tre triangoli aventi come altezza Ri e come base ed esso relativa uno dei tre lati e constatando che A è uguale alla somma delle aree di quei tre triangoli; quindi, chiamando , e i tre lati: .

Dimostrazione algebrica: Siano e i cateti e l'ipotenusa del nostro triangolo rettangolo. in base a quanto detto fin ora abbiamo:

a questo punto, usando il prodotto notevole "somma per differenza" otteniamo:

adesso, tramite "quadrato di un binomio" otteniamo:

semplificando i denominatori:

segue:

e da qui, come ultimo passaggio:

che corrisponde appunto all'enunciato del teorema di Pitagora.

Inverso

Vale anche l'inverso del Teorema di Pitagora (proposizione 48 del primo libro degli Elementi di Euclide): "Se in un triangolo di lati a, b e c vale la relazione , allora il triangolo è rettangolo".

Dimostrazione. Sia T un triangolo di lati a, b e c tale che . Consideriamo un secondo triangolo rettangolo T' che abbia i cateti pari ad a e b (è sempre possibile costruire un triangolo rettangolo dati i due cateti). Per il Teorema di Pitagora (diretto) l'ipotenusa del triangolo T' sarà pari a $\sqrt{a^2 + b^2}$ , ossia sarà uguale al lato c del triangolo T. I due triangoli T e T' risulteranno dunque congruenti per il terzo criterio di congruenza, avendo tutti e tre i lati ordinatamente uguali. Ma allora anche il triangolo T sarà rettangolo (CVD).

Un corollario del teorema di Pitagora consente di determinare se un triangolo sia o meno rettangolo, acutangolo o ottusangolo. Laddove c è scelto come ipotenusa, il lato più lungo dei tre, e a + b > c (altrimenti non avremo un triangolo), valgono le seguenti relazioni:

se , allora il triangolo è rettangolo
se , allora il triangolo è acutangolo
se , allora il triangolo è ottusangolo

Applicazioni pratiche dell'enunciato inverso

L'enunciato inverso fornisce anche un semplicissimo sistema per costruire un angolo retto (o per controllare la quadratura di un angolo già esistente) in situazioni pratiche, come la topografia o l'agrimensura.

A titolo di esempio, con una fune di lunghezza pari alla somma di una terna pitagorica (diciamo 12, somma di 5, 4 e 3, in una qualche unità di misura) sarebbe sufficiente disporre le due porzioni minori della corda (quelle di misura 4 e 3) ad un certo angolo fra loro; se gli estremi della fune, disposta infine in forma triangolare, si chiudono, si saprà che l'angolo compreso fra le due porzioni minori della corda (a questo punto i due cateti) è certamente retto.

Generalizzazioni

Il teorema di Pitagora può essere generalizzato in vari modi. Solitamente, una generalizzazione è una relazione che si applica a tutti i triangoli, e che applicata ai triangoli rettangoli risulta essere equivalente al teorema di Pitagora.

Teorema del coseno

Un triangolo qualsiasi.

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema del coseno.

La generalizzazione più importante del teorema di Pitagora è forse il teorema del coseno, che si applica ad un triangolo qualsiasi (non necessariamente retto). In un triangolo con vertici e angoli indicati come in figura, vale l'uguaglianza:

$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.$

Nel caso in cui $\gamma$ sia retto, vale $\cos\gamma = 0$ e quindi l'enunciato è equivalente al teorema di Pitagora. Il termine aggiuntivo può essere interpretato come il prodotto scalare dei vettori e .

Teorema dei seni

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema dei seni.

Il teorema dei seni mette in relazione lunghezze dei lati e angoli opposti.

Il teorema dei seni mette in relazione le lunghezze dei lati di un triangolo e i seni degli angoli opposti. Anche questa relazione si applica a qualsiasi triangolo e, nel caso in cui questo sia rettangolo, può essere ritenuta equivalente al teorema di Pitagora (benché in modo meno immediato rispetto al teorema del coseno).

Il teorema dei seni asserisce che in un triangolo qualsiasi, con le notazioni come in figura, valgono le relazioni seguenti:

$\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R.$

Elevando al quadrato:

$c^2= a^2\frac {\sin^2\gamma}{\sin^2\alpha}, \quad b^2= a^2 \frac{\sin^2\beta}{\sin^2\alpha}.$

Sommando i termini si ottiene:

$c^2 + b^2 =a^2\frac {\sin^2\gamma + \sin^2\beta}{\sin^2\alpha}.$

Quando $\alpha$ è un angolo retto, si ottiene $\beta = \pi/2-\gamma$ e quindi

$\frac {\sin^2\gamma + \sin^2\beta}{\sin^2\alpha} = \sin^2(\pi/2-\beta) + \sin^2\beta = \cos^2\beta + \sin^2\beta = 1.$

Si ottiene quindi in questo caso il teorema di Pitagora

Generalizzazione che non fa uso di trigonometria

Generalizzazione del teorema di Pitagora.

È possibile estendere il teorema di Pitagora ad un triangolo qualsiasi senza fare uso di funzioni trigonometriche quali il seno ed il coseno. Dato un triangolo come in figura, si tracciano due segmenti che collegano il vertice con due punti e contenuti nel segmento opposto (oppure in un suo prolungamento), in modo tale che gli angoli e siano entrambi uguali all'angolo $\alpha$ del vertice . La figura mostra un caso in cui l'angolo $\alpha$ è ottuso: se è acuto, i due punti e sono in ordine inverso (il primo a destra e il secondo a sinistra) e possono uscire dal segmento .

Vale la relazione seguente:

$\overline {AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline {BC}\cdot (\overline{Bg} + \overline{hC}).$

Quando $\alpha$ è un angolo retto, i punti e coincidono e si ottiene il teorema di Pitagora

$\overline {AB}^2 + \overline{AC}^2 = \overline {BC}\cdot (\overline{Bg} + \overline{hC}) = \overline{BC}^2.$

La relazione generale può essere dimostrata sfruttando la similitudine fra i triangoli , e , che porta alle relazioni

$\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{Bg}}{\overline{AB}},\quad \frac{\overline{AC}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{hC}}{\overline{AC}}.$

Si ottiene quindi

$\overline{AB}^2 = \overline{BC}\cdot \overline{Bg}, \quad \overline{AC}^2 = \overline{BC}\cdot \overline{hC}.$

Sommando le due eguaglianze si ottiene la relazione iniziale.

Leggenda di Pitagora e delle piastrelle

Rappresentazione grafica del teorema.

Una leggenda racconta che Pitagora abbia formulato il suo teorema mentre stava aspettando un'udienza da Policrate. Seduto in un grande salone del palazzo di Samo, Pitagora si mise ad osservare le piastrelle quadrate del pavimento, si pensa che ne abbia vista una rotta perfettamente su di una diagonale, così da formare due triangoli rettangoli uguali, ma oltre ad essere 2 triangoli rettangoli erano anche isosceli, avendo i due lati uguali. Pitagora immaginò un quadrato costruito sulla diagonale di rottura della piastrella, un quadrato avente come lati le diagonali delle piastrelle circostanti.

La dimostrazione è la seguente:

l'area di ciascuna delle piastrelle adiacenti ai cateti era di: 2 mezze piastrelle (=1 piastrella);
la somma delle due aree era quindi di: 4 mezze piastrelle (=2 piastrelle);
l'area del quadrato costruito sull'ipotenusa (diagonale della piastrella) era di: 4 mezze piastrelle.^[6]

Altre figure

Il Teorema di Pitagora continua a valere quando su ogni lato di un triangolo rettangolo si costruiscono figure regolari diverse dal quadrato, come il triangolo equilatero, il pentagono regolare e l'esagono regolare oltre al semicerchio.

Note

^ Viene a volte affermato che il teorema di Pitagora fosse noto agli antichi Egizi. Carl B. Boyer esclude questa ipotesi, basandosi sull'assenza del teorema dai papiri matematici rinvenuti. Si veda l'opera di Boyer citata in bibliografia, a pag. 20 dell'edizione italiana.
^ (EN) Alpay Özdural (1995). Omar Khayyam, Mathematicians, and “conversazioni” with Artisans. Journal of the Society of Architectural Vol. 54, No. 1, Mar., 1995
^ (EN) Alpay Özdural, Mathematics and Arts: Connections between Theory and Practice in the Medieval Islamic World, Historia Mathematica, Volume 27, Issue 2, May 2000, Pages 171-201.
^ (EN) Vedi appendice di L. J. Rogers' 1897 publication. Biography of Henry Perigal: On certain Regular Polygons in Modular Network. Proceedings London Mathematical Society. Volume s1-29, Appendix pp. 732-735.
^ (EN) Geometric Dissections and Transpositions
^ Leggenda di Pitagora e delle piastrelle di Policrate

Bibliografia

Carl B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano, 1990. ISBN 978-88-04-33431-6
Gino Loria, Le scienze esatte nell'antica Grecia, 2^ ed, Milano 1914

Voci correlate

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Collegamenti esterni

(EN) 54 dimostrazioni del teorema di Pitagora
alcune animazioni grafiche di differenti dimostrazioni del teorema di Pitagora
Animazione della dimostrazione di Euclide
Teorema di Pitagora in Tesauro del Nuovo soggettario, BNCF, marzo 2013.